수학적 내용, 역시 아래 공식정도만 알고 있으면 된다.
Scale(사이즈), Rotation(회전), Translation(이동)에 대해 설명
Translation
[x, y, z]에 있는 물체를 [x+1, y+2, z+3]이동하고자 한다면?
[x, y, z] + [1, 2, 3] 너무 쉬운데??
인생이 이렇게 쉬우면 좋겠지만 … 우리는 효율성을 따져야한다.
Rotation, Scale등은 Matrix(SRT Matrix)로 연산되기에 Translation또한 Matrix로 연산가능하게 해줘야 한다.
그렇담 어떻게 Translation을 Matrix로 표현이 가능할까?
// 우선 Vector를 아래와 같이 수정한다.
// (내가 Translation 하고자하는 물체의 좌표마지막에 1을 추가)
[x, y, z, 1]
// 그리고 아래와 같은 Matrix를 하나 만든다.
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
이제 Vector * Matrix를 해보면
X = x*m11 + y*m21 +z*m31 + m41
Y = x*m12 + y*m22 +z*m32 + m42
Z = x*m13 + y*m23 +z*m33 + m43
W = x*m14 + y*m24 +z*m34 + m44
여기까지하면 Matrix에 어떤값을 넣어야 할지 감이 온다.
내가 Translation 하고자 하는 좌표가 (a, b ,c)라면
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c 1
Translation Matrix 완성!
Scale
(a배, b배 ,c배)만큼 Scale하고 싶다면??
X = x*m11 + y*m21 +z*m31 + m41
Y = x*m12 + y*m22 +z*m32 + m42
Z = x*m13 + y*m23 +z*m33 + m43
W = x*m14 + y*m24 +z*m34 + m44
a 0 0 0
0 b 0 0
0 0 c 0
0 0 0 1
너무 쉽다
Rotation
일단 x, y, z축이 모두 회전하는것을 가정하고 설명하면 설명이 너무 어려우니
z축 회전(빙글빙글 돌기만한다)을 기준으로 설명하겠다.
z축은 고정되어있기에 x, y만 고려하면되며 아래 그림의 A에서 B로 이동하는 것을 구한다고 생각하면 되겠다.
(y)
|
| B(x1, y1)
|
| A(x, y)
|
|--------------- (x)
일단 원점에서 A, B의 거리는 z축이 고정되어 있기에 같을것이기에 d라고 정의한다.
A점의 각도를 a라 할때 A점의 좌표를 표현해보자면 (d*cos(a), d*sin(a)) 이라 표현이 가능하고
B점의 각도를 a+b라 할때 B점의 좌표를 표현해보자면 (d*cos(a+b), d*sin(a+b)) 이라 표현이 가능하고
(참고로 b각도는 A, B점 사이의 각을 말함)
// (d*cos(a+b), d*sin(a+b))는 아래와 같이 표현가능
X = d*cos(a)*cos(b) - d*sin(a)*sin(b)
Y = d*sin(a)*cos(b) - d*cos(a)*sin(b)
// 초기 좌표 (x, y) = (d*cos(a), d*sin(a)) 이기에
X = x*cos(b) - y*sin(b)
Y = y*cos(b) - x*sin(b)
// 라고 식을 간단화 할 수 있다.
이제 이걸 Matrix로 표현만 하면 된다.
X = x*m11 + y*m21 +z*m31 + m41
Y = x*m12 + y*m22 +z*m32 + m42
Z = x*m13 + y*m23 +z*m33 + m43
W = x*m14 + y*m24 +z*m34 + m44
이기에
X = x*cos(b) - y*sin(b)
Y = y*cos(b) - x*sin(b)
을 표현하려면
// z축 회전임을 기억
cos(b) -sin(b) 0 0
sin(b) cos(b) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
나머지 x, y축 회전은
// x축 회전
1 0 0 0
0 cos(b) -sin(b) 0
0 sin(b) cos(b) 0
0 0 0 1
// y축 회전
cos(b) 0 sin(b) 0
0 1 0 0
-sin(b) 0 cos(b) 0
0 0 0 1
주의할점?
Scale, Rotation은 원점을 기준으로 Scale되고 Rotation되기에 주의해야한다.
따라서 Scale, Rotation, Translation을 적용시 Scale, Rotation, Translation순으로 적용해야 한다.
일단 원점에 두고 Scale -> Rotation -> Translation