View좌표계 까지오면 카메라에 보이는 좌표계로 모든 오브젝트를 옮긴 후 이다.
이제 멀리있는것은 멀리 가까이 있는것은 가까이등을 표현하기 위해 좌표계를 옮겨야한다.
View <-> Projection
- Projection 좌표계 : 멀리있는 아이템을 작게 가까이 있는 아이템을 크게 등등 이런 작업을 할 좌표계
(y)
|
| /
| /
| / o(x, y, z)
| /
| /
<카메라>--(1)----(n)----(f)--------- (z)
| \
| \
| \
| \
| \
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* n : near
* f : far
카메라의 각도가 90도이고, n~f사이에 있는 아이템만 그려준다고 가정하자
우선, Projection의 핵심은 카메라와의 거리에 따라 얼마나 작게/크게 그려질것인가를 계산하는데 있다.
비례식을 통해서 구해야한다.
|
| /(카메라 화면)
| / |
| / |(X, Y) o(x, y, z)
| / |(1) |
| / | |
<카메라>-(1)-------(z)--------------
| \ |
| \ |(1)
| \ |
| \ |
| \ |
|
구하고자 하는 것은 카메라 좌표계에 나올 X, Y이다.
비례식에 따라
1 : X = z : x
-> X * z = 1 * x
-> X = x / z
1 : Y = z : y
-> Y * z = 1 * y
-> Y = y / z
이러면 끝일까?
카메라에 의해 출력되는 화면의 비율이 변경될 수 있기에 반영해 줘야한다.
r = w(카메라 width) / h(카메라 height) = 화면비율
화면비율을 반영하자
X = (1/r) * (x/z)
잉? 왜 X에만 곱해주나?
상대적인 값이기에 그러함 Y가 1이고 상대적으로 X는 1/r을 곱해준다.
예를들어 width(800), height(600)이라면 800/600~=1.3 –> width가 1.3 움직일때 height는 1움직이면 되기에 X에만 곱해준다.
카메라 각도가 90도가 아닌경우를 반영
카메라로 찍을 수 있는 공간이 많아질수록 기존의 물체들의 크기는 상대적으로 작아져야한다.
// 구하고자 하는 X, Y는 아래와 같이 표현할 수 있다.
// z는 깊이 값이다.
X = (1/r) * (x/z) * (1/tan(a/2))
Y = (y/z) * (1/tan(a/2))
(x/z): 기존 x에 깊이값 z만큼을 반영해야하고1/tan(a/2): 카메라 각도만큼도 반영해 줘야하며(1/r): 화면의 비율또한 반영해 줘야한다.
// 참고1 : 화면의 비율
r(화면의 비율)=w(width)/h(height)
// 참고2 : 높이를 tan로 구할수 있음.
/|
/ |
/ tan(a/2) <- 높이
/ a |
/----|
우선 깊이를 고려하지 않고 식을 간단히 해보자면
1/(r*tan(a/2)) 0 0 0
0 1/(tan(a/2)) 0 0
0 0 1 1 // z를 보존하기 위해서 여기 1을 넣음
0 0 0 0
이 Matrix를 (x, y, z, 1) 에 곱한다
[1/(r*tan(a/2)), 1/(tan(a/2)), z, z] 를 구할수 있는데 세 번째 z값은 기존의 깊이값인 z가 필요한 것이아니라 n~f사이의 깊이값 z가 필요하다
Matrix를 좀 더 수정해야 한다.
1/(r*tan(a/2)) 0 0 0
0 1/(tan(a/2)) 0 0
0 0 A 1
0 0 B 0
[1/(r*tan(a/2)), 1/(tan(a/2)), Az+B, z] 이 값이 나오면
마지막 z로 앞의 세 항을 나눈다
[1/(r*z*tan(a/2)), 1/(z*tan(a/2)), A+(B/z)]
마지막으로 A, B만 구하면 된다.
// n(near)일때 0이고
// f(far)일때 1이기에
G(n) = A + (B/n) = 0
G(f) = A + (B/f) = 1
// ...
B = -An
A-(An/f) = 1
// ...
A = f/(f-n)
B = -nf/(f-n)
완성
1/(r*tan(a/2)) 0 0 0
0 1/(tan(a/2)) 0 0
0 0 f/(f-n) 1
0 0 -nf/(f-n) 0
Projection <-> Screen
Projection은 -1~1의 값을 갖는데 그 값을 실제 Screen(Viewport)의 Width, Height에 맞춰 주면 끝이다.
(left, top)
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| ViewPort | h(height)
| |
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-------------------------
w(width)
X = Left + ((x+1)/2) * w
Y = TOP + ((1-y)/2) * h
w/2 0 0 0
0 -h/2 0 0
0 0 0 0
w/2+left h/2+top 0 1
여러 ViewPort를 사용할 수 있어서 Viewport자체의 깊이 값도 생각해야 한다.(많이 쓰진 않음)
w/2 0 0 0
0 -h/2 0 0
0 0 max-min 0
w/2+left h/2+top min 1